درس دوم
فرمت: PDF
تعداد صفحات: 10
در این فایل روش برآورد مدل دو متغیر با روش حداقل مربعات معمولی OLS در رابطه با موضوع رشد اقتصادی با متغیر وابسته تولید ناخالص داخلی سرانه حقیقی و متغیرهای مستقل نیروی کار و سرمایه در طول دوره زمانی 1995-2015 به صورت غیر لگاریتمی و لگاریتمی با تصاویر مرحله به مرحله آموزش داده شده است.
مشخصات این فایل
عنوان: حل مساله کمترین مربعات وزن دار با استفاده از تجزیه قائم کامل
فرمت فایل: word( قابل ویرایش)
تعداد صفحات: 114
این مقاله درمورد حل مساله کمترین مربعات وزن دار با استفاده از تجزیه قائم کامل می باشد.
پیشگفتار
حل مساله کمترین مربعات وزندار به صورت
از طریق روشهای مستقیم با توجه به فرض‌های زیر موردنظر است:
1. ماتریس دارای رتبه ستونی کامل باشد.
2. ماتریس متقارن معین مثبت و قطری حقیقی باشد.
3. ماتریس بسیار بدحالت باشد.
همچنین دستگاه خطی مربعی به صورت
را یک دستگاه تعادلی گویند، که با توجه به فرض‌های فوق با مساله کمترین مربعات بالا در بدست آوردن جواب y معادل است.
این دستگاه کاربردهای زیادی دارد.در سال 1988 استرنگ برخی از کاربردهای آن را در زمینه‌های بهینه‌سازی، المان‌های متناهی و شبکه‌های الکتریکی مشاهده کرد و به این نتیجه رسید که در اکثر موارد ماتریس وزن D برای آنها بسیار بدحالت می‌شدند.این موجب شد که یک سال بعد استوارت یک نرم کراندار را برای دستگاه‌های تعادلی فوق برقرار کند.این حرکتی شد برای واوایز که در سال 1994 روش پایدار NSH را برای دستگاه‌های تعادلی فوق تحت نتایج تعریف شده استوار بوجود آورد.از آن پس روش NSH به عنوان یکی از روشهای مفید برای دستگاه‌های تعادلی که ماتریس وزن D آنها بسیار بدحالت بودند، مورد استفاده قرار گرفت.
نشان داده شد که کران بالای جواب این روش مستقل از D و عدد حالت D است.این مزیتی برای روش NSH محسوب می‌شود، زیرا روشهای قبلی فاقد چنین کرانی بودند.
بالاخره در سال 1997 هاگ و واوازیز، روش پایدار دیگری را تحت نتایج تعریف شده استوارت بوجود آوردند که به روی COD موسوم شد.
این روش هم از لحاظ کارایی، و هم از نظر سادگی تکنیک‌های استاندارد بکار گرفته شده و هم به خاطر دارا بودن یک آزمون برای وابستگی سطرهای ماتریس A در مقابل وزن‌هایشان، به عنوان روشی بسیار مفید برای حل اینگونه مسائل مورد استفاده قرار گرفت.
این رساله به صورت زیر سازماندهی می‌شود:
1. در فصل اول مقدماتی از جبر خطی عددی را بررسی خواهیم کرد که شامل نمادها و الگوریتم‌های پایه‌ای، آنالیز ماتریس، آنالیز خطا، تجزیه ماتریس و دستگاه‌های خطی می‌باشد.
2. در فصل دوم حل مساله کمترین مربعات وزندار را با استفاده از روشهای دستگاه معادلات نرمال، تجزیه QR و SVD از نظر عددی و پایداری بررسی خواهیم کرد.
3. در فصل سوم دستگاه‌های تعادلی و حل مساله کمترین مربعات وزندار را با استفاده از الگوریتم‌های مربوط به این دستگاه (روشهای فضای پوچ و NSH)، از نظر عددی و پایداری مورد تحلیل قرار خواهیم داد.
4. در فصل چهارم حل مساله را با استفاده از تجزیه قائم کامل COD از نظر عددی و پایداری بررسی خواهیم کرد.
5. در فصل پنجم الگوریتم‌های فوق را از نظر عددی، پایداری و کارایی مورد مقایسه قرار می‌دهیم.الگوریتم‌ها را با استفاده از Matlab پیاده‌سازی می‌کنیم و مورد آزمون قرار می‌دهیم.
فصل اول
مقدمات
در فصل حاضر سعی بر این است که مقدمات لازم را برای فصول آینده جمع‌آوری کنیم.این فصل شامل پنج بخش به صورت زیر است.بخش اول، به یادآوری و بررسی مختصری از نمادها و الگوریتم‌های پایه‌ای از جمله: بردار، ماتریس، ضرب داخلی دو بردار، ضرب ماتریس با بردار، ضرب ماتریس با ماتریس و همچنین ماتریس‌های متعامد و خواص آنها و....می‌پردازد.بخش دوم، به بررسی مختصری از آنالیز ماتریس از جمله فضای برد و پوچ و روشهای محاسبه ماتریس پایه برای این فضاها و همچنین نرم‌های برداری و ماتریسی و خواص آنها می‌پردازیم.بخش سوم، بررسی آنالیز خطا از جمله تعریفی از سیستم نقطه شناور و نمایش اعداد حقیقی و ماتریس و تحلیل خطا و عملیات پایه‌ای مربوط به آنها را در این سیستم و همچنین تحلیل الگوریتم از لحاظ پایداری و ناپایداری را شامل می‌شود.بخش چهارم، به بررسی اجمالی در مورد تجزیه‌های چولسکی، QR، SVD یک ماتریس و الگوریتم‌های مربوط به آن می‌پردازد.بخش پنجم، مختصری در مورد تعریف و حالت و حل روشهای مختلف دستگاه‌های خطی را بررسی می‌کند....(ادامه دارد)
فصل پنجم
مقایسه الگوریتم‌ها و نتیجه‌گیری
این فصل شامل دو بخش به صورت زیر است:
در بخش اول الگوریتم‌های بررسی شده در فصل‌های قبلی را از نقطه نظر عددی، کارایی و پایداری بررسی می‌کنیم. در بخش دوم الگوریتم‌ها را با استفاده از Matlab پیاده‌سازی می‌کنیم و مورد آزمون عددی قرار می‌دهیم.
5. 1 مقایسه الگوریتم‌ها
در این فصل الگوریتم‌های مختلف را که در فصل‌های قبلی بررسی کرده‌ایم، مقایسه می‌کنیم و در جدول زیر خلاصه می‌کنیم.
کران بالای
تعداد فلاپ الگوریتم برای کمترین مربعات وزندار شماره روش
معادلات نرمال (1)
تجزیه QR هاوس هولدر (2)
تجزیه SVD (3
روش فضای پوچ (*) (4)
روش NSH (5)
روش COD (*) (6)
تذکر 5. 1. 1. علامت (*) در روشهای فضای پوچ، NSH و COD به منزله این است که کران بالای جواب، مربوط به خطای مطلق است.
نتایج ذیل برای روشهای ارائه شده در جدول بالا برقرارند:
1. روش (1) از نظر سرعت و کارایی بهترین روش، ولی از نظر دقت و پایداری، نسبت به سایر روش‌ها در پایین‌ترین مرتبه می‌باشد.
2. روشهای (2) و (3) از نظر دقت و همچنین جواب‌های محاسبه شده تقریباً برابرند، با این تفاوت که روش (2) از نظر سرعت و کارایی، از مرتبه بالاتر، ولی از نظر دقت، روش (3) از مرتبه تقریباً بهتری برخوردار است.
3. روش (4) از نظر فاصله دقت در مقایسه با روش (1) از شرایط تقریباً مساوی برخوردار است، ولی از نظر سرعت روش (1) نسبت به روش (4) از شرایط بهترین برخوردار است، به ویژه زمانی که n<<m.
یک عیب بزرگ دردو روش اخیر این است که اگر عدد حالت بسیار بزرگ باشد که طبق فرض نیز چنین است، در نتیجه این روش‌ها با مشکل بزرگی روبرو خواهند شد. کار اصلی این روش‌ها، استفاده از تجزیه چولسکی است و در تجزیه چولسکی باید ماتریس، متقارن مثبت باشد. با توجه به فرض اخیر ماتریس‌های موردنظر، معین مثبت بودن خود را از دست خواهند داد.
4. یک وجه اشتراک در روشهای فوق این است که کران بالای آنها متناسب با عدد حالت D است که با بزرگ شدن عدد حالت D، روشهای فوق دقت عددی لازم را از دست خواهند داد. به این دلیل، از دو روش پایدار NHS و COD که کران بالای جواب آنها مستقل از ماتریس وزن D و عدد حالت D می‌باشد، استفاده می‌کنیم.
5. در مقایسه بین دو روش اخیر، مزیت‌هایی که روش COD، نسبت به روش NSH دارد به صورت‌های زیر هستند:
الف) در الگوریتم COD از تکنیک‌های استاندارد استفاده می‌شوند که به خوبی در دسترس می‌باشند. مثلاً تجزیه QR و جایگذاری پسرو، در صورتی که روش NSH از تکنیک‌های غیراستاندارد استفاده می‌کند، به طور خاص هنگامی که پایه فضای پوچ را برای بدست می‌آوریم.
ب) اگوریتم COD کاراتر از الگوریتم NSH است، زیرا روش NSH دستگاه معادلات m*n را حل می‌کند و بنابراین فلاپ‌های مورد نیاز O(m3) می‌باشد، در صورتی که کار بر روی تجزیه QR کار اساسی برای الگوریتم COD می‌باشد و به O(mn2) فلاپ نیاز دارد، که با فرض n...(ادامه دارد)
چکیده
پیشگفتار
فصل اول
1.10.ماتریس قطری
1.2 آنالیز ماتریس
1.2.1.فضای برد، فضای پوچ و رتبه ماتریس
1.2.2.ماتریس پایه برای زیرفضاها
3.نرم برداری
1.2.4.نرم ماتریسی
1.3.1.نمایش اعداد حقیقی
1.3.2.عملیات سیستم نقطه شناور
1.4.2.تجزیه چولسکی ,
1.4.3.7.تجزیه QR هاوس هولدر با محورگیری ستونی(مسئله رتبه ناقص)
1.5.1.1.اثر تغییرات در طرف راستb.
1.5.2.3.روش چولسکی
5.روش QR
فصل دوم
مسئله کمترین مربعات وزندار و روشهای تجزیه
2.1 مسئله کمترین مربعات خطی
2.2 خواص کمترین مربعات خطی
فصل سوم
الگوریتم‌های عددی پایدار برای دستگاه‌های تعادلی
3.4.2 حذف گوس با محورگیری جزئی
4.3 روش فضای پوش (The Null Space Method)
3.4.4.1 پایداری روش NSH
3.4.4.2 الگوریتم مربوط به محاسبه V برای قضیه (3.4.1)
3.الگوریتم مربوط به محاسبه پایه B برای A
فصل چهارم
تجزیه قائم کامل برای حل مساله کمترین مربعات وزندار «COD»
فصل پنجم
مقایسه الگوریتم‌ها و نتیجه‌گیری
مقایسه الگوریتم‌ها
حل مساله کمترین مربعات وزندار به صورت از طریق روش تجزیه قائم کامل موردنظر است.در عمل ماتریس وزن‌ها می‌تواند بسیار بدحالت باشد و در نتیجه روشهای متداول، ممکن است جواب‌های نادقیق بدست بدهند.استوار و تاد یک نرم کراندار را برای مساله کمترین مربعات وزندار برقرار کردند که مستقل از ماتریس وزن D است.واوازیز یک زوش پایدار (NSH) را بر اساس نرم کراندارد برقرار کرد.جواب محاسبه شده بوسیله الگوریتم پایدار فوق یک کران دقیق را که مستقل از ماتریس وزن بدحالت D است، برقرار کرد.تحلیل خطای پیشرو نشان می‌دهد که الگوریتم COD در این حالت پایدار است، اما این الگوریتم نسبت به الگوریتم NSH که بوسیله واوازیز بررسی شد، ساده‌تر است.
شامل 114 صفحه فایل word