لینک پرداخت و دانلود *پایین مطلب*
فرمت فایل:Word (قابل ویرایش و آماده پرینت)
تعداد صفحه:39
فهرست مطالب
بخش اول – ریاضی علم استقرا گرایی
انقلاب نسبیت
مقدمه
این سخن بسیار گفته شده است که برای پی بردن به ساختمان پر کاهی با عمق و دقت، باید جهان را به درستی شناخت؛ امّا آن کس که بتواند با چنین عمق و دقتی به ساختمان پر کاهی پی برد، در هیچ یک از امور جهان نکته تاریکی نخواهد یافت. من شرح حال و زندگی انیشتن را نه برای ریاضدانان و نه برای فیزیکدانان، نه برای اهل فلسفه، نه برای طرفداران استقلال یهود، بلکه برای آن کسانی که می خواهند چیزی از جهان پر تناقض قرن بیستم درک کنند بیان می کنم و اینک شرح حال زندگی او از کودکی تا پایان عمر: آلبرت انیشتین در چهاردهم مارس 1879 در شهر اولم که شهر متوسطی از ناحیه و ورتمبرگ آلمان بود متولّد شد. امّا شهر مزبور در زندگی او اهمیتی نداشته است. زیرا یک سال بعد از تولّد او خانواده وی از اولم عازم مونیخ گردیدند.
پدر آلبرت، هرمان انیشتین کارخانه کوچکی برای تولید محصولات الکترو شیمیایی داشت و با کمک برادرش که مدیر فنی کارخانه بود از آن بهره برداری می کرد. گر چه در کار معاملات بصیرت کاملی نداشت. پدر آلبرت از لحاظ عقاید سیاسی نیز مانند بسیاری از مردم آلمان گرچه با حکومت پروسی ها مخالفت داشت امّا امپراطوری جدید آلمان را ستایش می کرد و صدر اعظم آن «بیسمارک» و ژنرال «مولتکه» و امپراطور پیر یعنی «ویلهم اول» را گرامی می داشت. مادر انیشتین که قبل از ازدواج پائولین کوخ نام داشت، بیش از پدر زندگی را جدی می گرفت و زنی بود اهل هنر و صاحب احساساتی که خاصّ هنرمندان است و بزرگترین عامل خوشی او در زندگی و وسیله تسلای وی از علم روزگار، موسیقی بود.
آلبرت کوچولو به هیچ وجه کودک اعجوبه ای نبود و حتّی مدّت زیادی طول کشید تا سخن گفتن آموخت به طوری که پدر و مادرش وحشت زده شدند که مبادا فرزندشان ناقص و غیر عادی باشد؛ امّا بالاخره شروع به حرف زدن کرد؛ ولی غالباً ساکت و خاموش بود و هرگز بازیهای عادی را که مابین کودکان انجام می گرفت و موجب سرگرمی کودک و محبّت فی ما بین می شود را دوست نداشت.
آلبرت مرتباً و هر سال از پس سال دیگر طبق تعالیم کاتولیک تحصیل کرد و از آن لذّت فراوان برد و حتّی در مواردی از دروس که به شرعیات و قوانین مذهبی کاتولیک بستگی داشت چنان قوی شد که می توانست در هر مورد که همشاگردانش قادر نبودند به سؤالهای معلّم جواب دهند، او به آنها کمک می کرد.
انیشتین جوان در ده سالگی مدرسه ابتدایی را ترک کرد و در شهر مونیخ به مدرسه متوسطه «لوئیت پول» وارد شد. در مدرسه متوسطه اگر مرتکب خطایی می شدند راه و رسم تنبیه ایشان آن بود که می بایست بعد از اتمام درس، تحت نظر یکی از معلّمان، در کلاس توقیف شوند و با در نظر گرفتن وضع نابهنجار و نفرت انگیز کلاسهای درس، این اضافه ماندن شکنجه ای واقعی محسوب می شد...
بخش اول – ریاضی علم استقرا گرایی
پوپر می گوید:
راه درس گرفتن از تجربه، انجام مشاهدات مکرر نیست. سهم تکرار مشاهدات در قیاس باسهم اندیشه هیچ است. بیشتر آنچه که می آموزیم با کمک مغز است. چشم و گوش نیز اهمیت دارند، ولی اهمیتشان بیشتر در اندیشه های غلطی است که مغز یا عقل پیش می نهند. بر همین اساس، با استقراءگرایان مخالفت ورزیده و استقراء را اسطوره‌ای بی بنیاد معرفی کرده است. پوپر با بیان این مطلب که نظریات همواره مقدم بر مشاهدات هستند طرح نوینی را در عرصة روش شناسی علوم تجربی بنیان نهاد. طبق نظر وی روش صحیح علمی عبارت است از آنکه یک نظریه به نحو مستمر در معرض ابطال قرار داده شود. بنابراین یک نظریه برای آنکه قابل قبول باشد باید بتواند از بوتة آزمونهایی که برای ابطال آن طراحی شده‌اند، سر بلند بیرون بیاید. پوپر مصرانه ندا سر می دهد که بگذارید نظریه ها بجای انسانها بمیرند . پوپر با ارائه ی نظریه ی ابطال پذیری تلاش کرد مرز بین نظریه های علمی و غیر علمی را مشخص کند. وی چنین بیان می کند.
علمی بودن هر دستگاه، در گرو اثبات پذیری به تمام معنای آن نیست، بلکه منوط به این است که ساختمان منطقیش چنان باشد که رد آن به کمک آزمونهای تجربی میسر باشد.
به عبارت دیگر از دیدگاه پوپر نظریه های علمی اثبات پذیر نستند، بلکه ابطال پذیرند . پوپر با این دیدگاه به مخالفت با تلقی‌های رایج از علم پرداخت و بیان کرد که علم و نظریه‌های علمی هیچگاه از سطح حدس فراتر نمی‌روند و آنچه که منتهی به پیشرفت علم میشود سلسله‌ای از حدسها و ابطالها می‌باشد. پوپر تاکید می کند برای رسیدن به اندشه های نو، هیچ دستور منطقی نمی توان تجویز کرد.
اندیشمندان بسیاری چون برونو و گالیله با مشکلات و مصایب طاقت فرسایی دسته و پنجه نرم کردند تا روش استقرایی در جهان علم نهادینه گردد، اما در قرن بیستم روش استقرایی جاذبه دوران رنسانس خود را از دست داد.
هرچند استقرا نفی نشد، اما فیلسوفان علمی قرن بیستم، در تکاپو بودند تا روش های بهتری را جایگزین آن کنند. و این سیر منطقی تکامل اندیشه در طول تاریخ حیات انسان است. در فلسفه ی علم قرن بیستم، دو دیدگاه از بقیه دیدگاه ها بیشتر مورد توجه واقع شد. یکی دیدگاه ابطال پذیری پوپر بود و دیگری نظزیه انقلاب های علمی کوهن.
کوهن به یک چرخش تاریخی تکیه می کند و معتقد می شود که علم یک سیستم پویاست و به جای معرفت شناسی علم به جامعه شناسی علم توجه می کند. وی نشان داد که علم تکامل تدریجى به سمت حقیقت ندارد بلکه دستخوش انقلاب هاى دوره اى است که او آن را تغییر پارادایم مى نامد. پارادایم یکى از مفاهیم کلیدى کوهن است او معتقد است پارادایم (نظام) یک علم تا مدت هاى مدید تغییر نمى کند و دانشمندان در چارچوب مفهومى آن سرگرم کار خویش هستند. اما دیر یا زود بحرانى پیش مى آید که پارادایمرا درهم مى شکند و انقلاب علمى به وجود مى آید که پس از مدتى، پارادایم جدیدى به وجود مى آید و دوره اى جدید از علم آغاز مى شود. مثال هاى کلاسیک تغییر پارادایم عبارتند از:
1- کار گالیله که باعث برانداختن فیزیک ارسطویى و ایجاد نسبیت گالیله اى شد
2- کار کپلر که باعث کشف بیضوى بودن مدار سیارات شد
3- ابداع فیزیک جدید توسط نیوتن
4- نسبیت عام و خاص اینشتین
5- مکانیک جدید کوانتوم که باعث کنار گذاشتن مکانیک کلاسیک شد.
کوهن در تحلبل خود از مثال جایگزینى تئورى نسبیت اینشتین بجاى تئورى مکانیک نیوتون که در پى بحران ناشى از آزمابشات مربوط به نور مایکلسون- مورلى بوجود آمده سود جسته است.
اگر نظریه انقلاب های علمی کوهن را باور داشته باشیم، از توجه به این نکته نیز نباید غافل شد که زیر بنای هر انقلابی را اندیشه های نو شکل می دهد> آنگاه باید با پوپر همصدا شد که برای رسیدن به اندشه های نو، هیچ دستور منطقی نمی توان تجویز کرد انقلاب نسبیت در اندیشه های اینشتین بارور شد و انقلاب مکانیک کوانتوم از اندیشه های پلانک سر در آورد.
بخش دوم – سال شمار زندگی البرت انیشتین
- تولد :در تاریخ 24 اسفند سال 1258 هجری شمسی ,در شهر اولم آلمان Ulm
- نام پدر: هرمان انشتین (1226-1281 ه. ش/وی 55 سال روی این سیاره زیست)
- نام مادر: پائولین کخ (1237-1299ه.ش/وی 63 سال روی این سیاره زیست.)
- مادر انشتین 11 سال از شوهرش هرمان جوانتر بود و آلبرت هنگامیکه پدرش 32 ساله و مادرش 21 ساله بود بدنیا آمد.
- هرمان یک مهندس برق بود که البته در کارهای اقتصادی زیاد وارد نبود.
- پائولین هم خانه دار بود و گهگاهی ویولن تدریس می کرد.
1259 : در یک سالگی، انشتین به همراه خانواده مونیخ هجرت کرد.
1260: در دو سالگی، خواهرش ماجا (ماریا - مریم) بدنیا آمد. (او در سال 1330 هجری شمسی در سن 70 سالگی از دنیا رفت.)
1267 : به مدرسه ی لوئیت پولد مونیخ وارد شد. (در سن 9 سالگی)
1273: در حالی که انشتین 15 ساله دانش آموز کلاس ششم بود، خانواده اش به ایتالیا هجرت کردند و انشتین در مدرسه ی شبانه روزی لوئیت پولد ماند.
1274 : انشتین 16 ساله به خانواده اش در پاویا ملحق شد و سپس به مدرسه ی کانتونال در شهر آرا واقع در سوئیس رفت.
1275: تابعیت آلمانی اش را رسما انکار کرد. و تابعیت سوئیس را پذیرفت. در هفده سالگی از مدرسه ی شهر آرا دیپلم گرفت و سپس در مرکز صنعتی فدرال ETH در شهر زوریخ در رشته ی ریاضی و فیزیک ثبت نام کرد.
1279: پس از چهار سال در سن 21 سالگی از مرکز صنعتی فدرال ETH فارغ التحصیل شد و دیپلما گرفت.
1280: در سن 22 سالگی شهروند سوئیس شد.
1281: در سن 23 سالگی در مؤسسه ای که امتیاز ثبت اختراعات را ارائه می کرد در شهر برن، استخدام شد. در این سال پدرش در سن 54 سالگی درگذشت.
1282: در سن 24 سالگی با میلوا ماریک (1254-1323/ وی 69 سال در این سیاره زندگی کرد) - که 4 سال بزرگتر از انشتین بود- ازدواج کرد. در آن زمان میلوا دختری 28 ساله بود. آنها دو پسر داشتند. هانس آلبرت (1283-1352/ وی 69 سال روی این سیاره زیست) که مهندسی مکانیک شاخه ی هیدرولوژی خواند و در کارش موفق بود. و ادوارد (1289-1344/وی 55 سال روی این سیاره زیست) و دچار بیماری شیزوفرنی علاج ناپذیری بود. آنها یک دختر هم داشتند بنام لیزرل (1281-نامعلوم؟) که قبل از ازدواج آنها از مادر و پدر دیگری بدنیا آمده بود و آنها او را به فرزند خواندگی قبول کردند. سرنوشت او نا معلوم است.
1284: در سن 26 سالگی، در مجله ی Annalen der Physik آلمان مقاله ی مربوط به کوانتومهای نور و اثر فوتوالکتریک، مقاله ی مربوط به حرکت براونی ذرات در نظریه ی اتمی ، مقاله ی نسبیت خاص، مقاله ی همسانی انرژی و جرم، مقاله ی نظریه ی کوانتومی برای مواد حالت جامد در رابطه با گرمای ویژه و مقاله ی اصول نسبیت عام که اذعان می کرد که گرانش همانند شتاب است، را بچاپ رساند.
1288: در سن 30 سالگی، در دانشگاه زوریخ دانشیار شد. کارهای بیشتری روی نظریه ی کوانتومی کرد.
1290: در سن 32 سالگی، در دانشگاه کارل - فردیناند در شهر پراگ استاد کامل شد. خمیدگی نور در نور ستاره ها را هنگام خورگرفت (خورشید گرفتگی) پیش نیبنی کرد. (هرچند که مقداری که پیش بینی کرد غلط بود.)
1291: در سن 33 سالگی، در ETH (مرکز صنعتی فدرال/ یعنی همانجایی که چهار سال درس خوانده بود و دیپلما گرفته بود) استاد کامل شد.
1293: در سن 35 سالگی، در دانشگاه برلین استا کامل شد. میلوا و فرزندانش را ترک کرد. این هنگامی بود که جنگ جهانی اول شروع شد.
1294: در سن 36 سالگی، "بیانیه ای به اروپائیان" را با دیگران هم امضا شد که طبق آن خود را از نظامیگری آلمان جدا می دانست. مقاله ی معادلات نسبیت عام را بچاپ رساند.
1295: در سن 37 سالگی، کتابی در رابطه با نسبیت عام بچاپ رساند. رئیس انجمن فیزیک آلمان شد. تکانه ی کوانتاهای نور را محاسبه کرد که در سال 1296 مقاله ای با همین عنوان در رابطه با شبیه سازی گذار اتمی بچاپ رساند.
1296: در سن 38 سالگی، مدیر مرکز قیصر- ویلهلم آلمان شد، (مؤسسه ای که تحقیقات آلمان را حمایت می کند.) مقاله ی معادلات کیهانشناسی با ثابت کیهانی را بچاپ رساند وانبساط جهان را از معادلات فوق استخراج کرد.
1297: هنگامی که 39 سال داشت، پایان جنگ جهانی اول و انقلاب در آلمان.
1298: در 40 سالگی، از میلوا طلاق گرفت و با الزا انشتین لووتنتال(دختر خاله اش)
1255-1315/که 60 سال روی این سیاره زندگی کرد) هنگامی که او 43 سال داشت، ازدواج کرد. الزا از شوهر سابقش دو دختر داشت. الیزه (1276-1313/که37 سال روی این سیاره زندگی کرد) و مارگوت (1278-1365/که 77 سال روی این سیاره زندگی کرد). هنگام ازدواج مادر این دو دختر با انشتین آنها به ترتیب 22 ساله و 20 ساله بودند. بنابر قانون این دو دختر فامیلی انشتین را پس از ازدواج اخذ کردند. در این سال خمیدگی نوری در یک خور گرفت (خورشیدگرفتگی) مشاهده شد.
1299: همزمان با 41 سالگی، اذهان عمومی، با تحریک ضد یهودها، به نظریه ی نسبیت عام و انشتین تاختند. در این سال مادرش در سن 63 سالگی در گذشت.
1300: در42 سالگی، اولین دیدارش از آمریکا.
1301: در 43 سالگی، کار بر روی نظریه ی میدانهای واحد. دیدار از کشورهای خاور دور. برنده ی جایزه ی نوبل در فیزیک "به پاس خدمات در فیزیک نظری و بویژه کشف قانونمندی اثر فوتو الکتریک."
1303: در 45 سالگی، افتتاح مرکز انشتین در برج انشتین در پوتزدام. چاپ مقاله ی نظریه ی بوز- انشتین (بوز فیزیکدان هندیست) در باب افت و خیزهای آماری.
1306: در سن 48 سالگی، آغاز بحث با نیلس بور (فیزیکدان اتریشی) در باب تفسیر نظریه ی کوانتومی، در پنجاهمین همایش سالوی.
1308: در سن 50 سالگی، مقاله ای برای اذهان عمومی در رابطه با وحدت نظریه ی میدان گرانشی و میدان الکترومغناطیسی بچاپ رساند.
1309: در سن 51 سالگی، دیدارش گشترده ای از آمریکا بخصوص در مرکز صنعتی کالیفرنیا داشت.
1311: در سن 53 سالگی، بعنوان استاد کامل در مرکز تحقیقات مطالعات پیشرفته ی پرینستون انتخاب شد. با رعایت این مسأله که بعنوان استاد نیمه وقت در دانشگاه برلین هم باشد.
1312: در سن 54 سالگی، نازیها در آلمان بر سر قدرت آمدند. انشتین ابتدا به انگلستان رفت و سپس از آنجا به آمریکا رفته و مقیم آمریکا شد.
1313: دختر اول الزا بنام الیزه انشتین درگذشت. در این سال انشتین 55 ساله بود.
1314: در سن 56 سالگی، چاپ مقاله ای بزبان انگلیسی تحت عنوان: "آیا توصیف مکانیک کوانتومی از حقیقت واقعی می تواند کامل باشد؟" به همراه ب. پوذولسکی و نیلس بور که بحث بی انتهایی را روی تفسیر کوانتوم بوجود آورد.
1315: در سن 57 سالگی، مرگ همسرش الزا.
1318: در سن 60 سالگی، وقوع جنگ جهانی دوم. انشتین نامه ای به ریاست جمهوری آمریکا، روزولت، نوشت از احتمال ساخت بمب اتمی او را آگاه کرد.
1319: در سن 61 سالگی، تابعیت آمریکا را پذیرفت ولی تابعیت سوئیس را از دست نداد.
1323: همسر اول انشتین، میلوا ماریک در 69 سالگی گذشت. در این زمان انشتین 65 ساله بود.
1324: در سن 66 سالگی، بمباران اتمی هیروشیما و ناکازاکی. پایان جنگ جهانی دوم.
1325: در سن 67 سالگی، بعنوان سرگروه کمیته ی فوری دانشمندان اتمی خدمت کرد.
1327: در سن 69 سالگی، چاپ مقاله ی: "تعمیم نسبیت عام" بعنوان یک نمونه از تلاشها برای دست یابی به دیدگاه ریاضی جهانشمول برای نظریه ی میدانها.
1330: در سن 72 سالگی، خواهر انشتین در سن 70 سالگی در گذشت.
1331: در سن 73 سالگی، ریاست جمهوری به او پیشنهاد شد ولی او نپذیرفت.
1334: در 30 فروردین 1334 در سن 76 سالگی در بیمارستانی در شهر پرینستون بر اثر تصلب شرائین در گذشت
بخش سوم – تلاشهای عمومی انیشتین و کاربرد عمومی آنها
اندیشه و طرز فکر انیشتین در بسیاری از پژوهش‌های علمی مورد استفاده قرار گرفته است. از شتاب دادن به ذره و نزدیک رسانیدن سرعت آن به سرعت نور تا توانا ساختن ستاره‌شناسان برای طرح ریزی نقشه‌ی آسمان بالای سر همه از فرضیات و معادلات انیشتین سرچشمه می‌گیرند. با این حال بر همه آنقدر روشن نیست که این فرضیات چه استفاده‌هایی در زندگی روزمره و عادی عموم دارند. در این مقاله به سه نمونه از کارهای انیشتین و کاربرد عمومی آنها می‌پردازیم.
یکی از وسیله‌هایی که عموم در کارهای روزمره از آن استفاده می‌کنند چشم برقی یا فتوسل است. چشم برقی گیرنده‌ی حساسی است که به محض دریافت نوری مخصوص، وسایل ماشینی یا برقی متصل به خود را به راه می‌اندازد. ممکن است فکر کنید که تا به حال به یک چشم برقی برخورد نکرده‌اید ولی این‌طور نیست. به عنوان نمونه می‌توان به یک دَر خودکار (اتوماتیک) مغازه اشاره کرد که هنگام مواجه شدن و راه رفتن در جلوی آن، دَر خود به خود باز میشود. انیشتین اولین دانشمندی بود که توانست در مقاله‌ی علمی خود بر روی تاثیر فتوالکتریک، این پدیده را به طور صحیح توضیح داده و پیش‌بینی کند. به طور خلاصه هنگامی که اشعه‌ای از نور به فلز برخورد می‌کند، آن فلز از خود برق تولید می‌کند (که این برق باعث به کار افتادن وسیله‌ی متصل به آن میشود). مهم‌تر از آن این است که مقدار برق فرستاده شده توسط فلز به فرکانس نوری که به فلز می‌تابد بستگی دارد؛ (نه به مقدار نوری که به آن می‌تابد! سال 1905 میلادی) این مقاله بعدها باعث شد که انیشتن جایزه‌ی نوبل فیزیک سال 1921 را از آن خود کند. در زندگی روزمره بسیار با چشم برقی برخورد می‌کنیم بدون آنکه متوجه آن باشیم. به عنوان نمونه در تورنتو بسیار مشاهده کرده‌ایم که چراغ‌های خیابان به طور خودکار هنگام غروب، درست هنگامی که رنگ آسمان ارغوانی میشود، روشن می‌شوند (رنگ بنفش و ارغوانی در طیف بین از شدت شدیدتری برخوردارند). از دیگر نمونه‌های کاربرد این برهان می‌توان به استفاده‌ی آن در باتری‌های خورشیدی در ساعت، ماشین‌حساب و حتی ماهواره‌ها اشاره کرد.
در سال 1917 میلادی انیشتن تحقیقی را بر روی نظریه‌ی نور و تشعشع آغاز کرد. در پی آمد این تحقیقات، انیشتین در مقاله‌ی علمی خود «در نظریه‌ی کوانتومی تشعشع» چگونگی تحریک شدن اتم‌ها و آزاد کردن آنی نور از آنها را شرح داد. به طور خلاصه، یک فوتون (ذره‌ای از نور) می‌تواند الکترون‌های یک اتم را تحریک کند و این باعث تشعشع ِفوتون دیگری از اتم میشود. سپس این دو فوتون الکترون‌های دو اتم دیگر را تحریک کرده و چهار فوتون را تشکیل می‌دهند. به این ترتیب از تابش یک فوتون به اتم‌های یک فلز، تعداد زیادی فوتون تشکیل می‌شوند. با متمرکز ساختن این فوتون‌ها پرتویی به وجود می‌آید که این پرتو همان لیزر است. اگر چه تا سال 1954 لیزر ساخته نشد، ولی اختراع آن و دیگر وسایل لیزری دست آورد نظریه‌ی انیشتن بر روی نور و ماده بود. دلیل این که چرا لیزر قبل از این -بین سالهای 1917 تا 1954- اختراع نشد هنوز مخفی است زیرا معادلات انیشتین ساختن لیزر را بسیار آسان کرده‌اند. لیزر بخش بسیار مهمی از DVD ' CD ' وسایل پزشکی، ابزار برش تجاری و فیبر نوری (Fiber Optic Communication) را تشکیل می‌دهد.
شاید مهمترین کاربرد روزمره‌‌ی نظریه‌ی انیشتین سیستم مکان‌یابی ِسراسری (Global Positioning System - GPS) باشد....
بخش چهارم – انقلاب نسبیت
در دهه اول قرن بیستم انقلابی در فلسفه طبیعی پیش آمد که بسیاری آن را از حیث عمق معنا و درهم ریزی احکام جزمی پذیرفته شده ، نسبت به انقلاب کوپرنیکی _گالیله ای ،برتر به شمار می آورند . در این فاصله زمانی دو نظریه بسیار مهمی پا به عرصه رقابت نهادند ، نظریه نسبیت و کوانتمی که نسبت به کار های دانشمندان پیشین از جمله ماکسول ،سارین کلوین وکلازیوس به نحو چشمگیری متفاوت بودند .این نظریه های جدید نیز ،با میکانیک نیوتونی در بعضی از اصول و فرض های بنیادی اختلاف شدیدی داشتند . این نظریه علاوه بر اینکه در بر گیرنده پیچیدگی های ریاضیست ،تصور ذهنی و فهم آن ،بسیار دشوار است .
البته شایان ذکر است که انیشتین در مقاله 1905 خود که برای اولین بار به نسبیت خاص خود پرداخت از معادلات ریاضی ساده استفاده کرد اما در مقاله 1919 که به نسبیت عام پرداخت ،بر خلاف مقاله بیشین از فرمول های پیجیده ی ریاضی استفاده کرد
نسبیت از ریشه نسبی گرفته شده است ، یعنی هر کدام از واحد های فیزیکی شناخته شده برای توصیف پدیده های طبیعی ، نسبی هستند . یعنی وزن ،سرعت ،شتاب و حتی زمان که برای ما تعریف می شوند ، نسبی هستند . برای درک این بهتر است چند مثالی بزنم . در میکانیک نیوتنی ،نیروی وزن شیء در کره زمین را مقدار نیرویی که از زمین بر شیء وارد می شود و آن را با شتاب g به سمت خود می کشاند ، تعریف کرده اند . اگر از شخصی بپرسید که وزنتان چقدر است ؟ او احتمالاً می گوید : در کجا ؟ . وزن شخص در آسانسوری که با شتاب به سمت پایین می رود در مقایسه با هنگامی که آن آسانسور با همان شتاب به سمت بالا می رود ، فرق می کند . حال به مثال دیگری
می پردازیم :
مجید و فرهاد دو دوست هستند که سوار بر اتومبیل پراید ، با سرعت ثابت V در حال حرکت هستند ومقصد آن ها ، منزل احمد ، است . در این هنگام احمد از پشت بام منزلشان ، اتومبیل مجید را مشاهده می کند . وی در آنجا ، با انجام محاسباتی توسط دستگاهش ، سرعت مجید و فرهاد را V بدست می آورد (معادل سرعت اتومبیل) . در این لحظه ، اتومبیل پدر احمد ، با سرعت ثابت P از کنار اتومبیل مجید می گذرد ، در آن لحظه ی عبور ، دستگاه تعبئه شده در اتومبیل پدر احمد ، سرعت مجیدو فرهاد را U=V+P نشان می دهد. در آن لحظه عبور، احمد با مجید تماس می گیرد و از او
می پرسد که سرعت فرهاد را اندازه گیری کند. مجید با شنیدن سخنان احمد ، تعجب می کند و می گوید :" این دیگر چه سوال بی خودی است . می بینی که فرهاد در کنار من ساکن نشسته است ، پس باید سرعت او صفر باشد ". احمد گوشی را می بندد و به پدرش زنگ می زند و از او می پرسد که دستگاه محاسبه گر تو ، سرعت مجید و فرهاد را چند بدست آورده است ؟ پدر می گوید : "سرعت مجید و فرهاد U=V+P است " . احمد در این هنگام با خود فکر می کند که چگونه فردی در درون اتومبیل با سرعت ثابت ، بنشیند و در حالی که خود دارای سه سرعت کاملاً متفاوتی باشد . احمد با مبنای سینماتیک آشنایی زیادی ندارد. پس سرعت هم نسبی است .
مسئله نسبی بودن سرعت ، از نظر انیشتین ، آن قدر که به اعتبار اصل نسبیت مربوط می شد به اتر و حرکت سوقی ربطی نداشت .
طبق اصل نسبیت : قوانین طبیعت در تمام چارچوب های مرجع لخت یکسان اند .
انیشتین پس از مطرح کردن اصل نسبیت ، به دو موضوع بنیادی پرداخت :
1 - اصل نسبیت در تمام رویداد های طبیعی صحیح و صادق است.
2 - سرعت نور در خلاء ،در هر چارچوب لختی که اندازه گیری می شود با صرفه نظر از حرکت منبع نور ، معادل cاست .
اصل موضوعی دوم انیشتین، در واقع اندیشه میکانیکی نیوتنی و سینماتیکی گالیله‌ای را زیر پا می گذارد . طبق اصول سینماتیک ، اگر دو جسم متحرک با سرعت ثابت ، در حال حرکت به سمت یکدیگر باشند ، سرعت هر یک از آن ها در نقطه بر خورد ، برابر با مجموع سرعتشان است .
اما درنسبیت انیشتین ایگنونه نیست . اگر در نقطه ای نوری را گسیل کنیم ، ناظر ساکن و ناظر متحرک که با سرعت vدر حال حرکت به سمت منبع است ، سرعت نور را cمحاسبه می کنند .
این دو اصل سه نتیجه ی حیرت آوری به همراه دارد :
الف) همزمانی اتساع زمان
ب) پارادوکس دو قلوها
پ) انقباض جرالد-لورنتس .
الف) همزمانی اتساع زمان :
مطابق میکانیک نیوتنی ، زمان مطلق است ، یعنی زمان در تمام نقاط جهان و بدون وابستگی به شرایط حاکم بر محیط ، به طور یکنواخت جریان دارد .
اما انیشتین خلاف آن را معتقد است ، و در واقع اینجاست که نیوتن و انیشتین از هم جدا می شوند .
انیشتین برای اثبات گفته های خود در مورد عدم مطلق بودن زمان ، به اصل موضوعی دوم خود پناه می برد . برای اثبات فرضیه ی انیشتین ، دو لامپ فلاش در نقاط A و B داریم . فردی در میانه ی BA قرار می گیرد . ومشاهده می کند که دو فلاش A و B همزمان به او می رسد ، اما اگر فرد به نقطه A نزدیکتر باشد ، مشاهده می کند که نور گسیل شده از A زودتر از B به او می رسد ، اما اگر فرد به نقطه B نزدیکتر باشد ، مشاهده می کند که نور گسیل شده از B زودتر از A به او می رسد . پس این رویداد ها همزمان نیستند .
اکنون یکی از معروفترین پیامدهای این نظریه ، یعنی اتساع زمان ، را بررسی
می کنیم .
منظور از اتساع زمان اینست که ، ساعت در چارچوب های لختی متحرک نسبت به چارچوب های لختی ساکن ، کند کار می کند .
برای روشن کردن بحث اتساع زمان , یک جفت ساعت کاملاً متشابه به هم را تهیه نموده ایم . در این ساعت ، در آینه به طور موازی و به فاصله ی dاز یکدیگر قرار دارند . در یکی از آینه ها نقطه ای وجود دارد که از آن نوری گسیل می شود و آن نور پس از انعکاس از آینه دومی ، به همان نقطه تابش خود برمی گردد . این ساعت به گونه ای کار می کند که واحد زمان را معادل ، زمان رفت و برگشت نور بین دو آینه ، نشان می دهد . یعنی واحد زمانی که این ساعت نشان می دهد برابر t =2d/c است .
یکی از ساعت ها در چاچوب مرجع ساکن لختی قرار می دهیم ، و مشاهده می کنیم که واحد زمان محاسبه شده معادل t می باشد .
ساعت دیگر را در چارچوب متحرک لختی که با سرعت فوق العاده u حرکت
می کند، قرار می دهیم . در این چارچوب مسیر رفت و برگشت نور ، بیشتر از 2d است . زیرا این ساعت با سرعت u در حال حرکت است . پس مکان این آینه پیوسته در حال تغییر است به همین دلیل نور در این مسیر رفت و برگشت خود ، یک مسیر شکسته ( به صورت 8 است ) طی می کند . پس واحد زمان در چارچوب متحرک لختی بزرگتر از واحد زمان در یک چارچوب ساکن لختی است . به همین دلیل ساعت ها در چارچوب متحرک لختی نسبت به چارچوب ساکن لختی کند کار می کنند .
ب) پارادوکس دوقلو ها :
اتساع زمان در نظریه نسبیت ما را به پارادوکس دو قلو ها می کشاند ، این پارادوکس بیش از 50 سال بعد از انتشار نظریه نسبیت انیشتین ، مورد بحث میان دانشمندان بوده است . که خلاصه این داستان بدین شرح است که : یکی از دو قلوه ها تصمیم می گیرد که با یک فضاپیما که با سرعت نزدیک به سرعت نور حرکت می کند , به یک سیاره دور برود . این مسافرت 70 سال زمینی طول می کشد . هنگامی که او بر می گردد می بیند که برادرش به سن 90 سالگی رسیده ودر حالی که او 29 سال بیشتر سن ندارد .
انقباض لورنتس-جرالد :
اتساع زمان که یکی از مهمترین نتایج نظریه نسبیت است ، موجب شد که انقباض لورنتس-جرالد ، قدم به صحنه رقابت بگذارد .
ناظر o در چارچوب ساکن لختی قرار دارد و می خواهد طول لوله ای را محاسبه کند . روش اندازه گیری او ، اینگونه است که یک شیء را با سرعت ثابت v ، از یک سر لوله پرتاب می کند و با ثبت مدت زمانی که آن شیء به آن سر لوله می رسد ، و با استفاده از فومول های سینماتیک ، طول لوله را می یابد . او طول لوله را L محاسبه
می کند . L = t .v
ناظر Z واقع در چارچوب متحرک لختی نیز می خواهد طول همان لوله را محاسبه کند . او برای محاسبه طول لوله از شیوه ی ناظر O استفاده می کند و طول لوله را L` می یابد .(L`=t` .v`)
طبق نتایج قبلی نسبیت ( اتساع زمان ) ، به این نتیجه رسیدیم که زمان در چارچوب متحرک نسبت به چارچوب ساکن ، کندتر می گذرد . پس t > t` بنابراین L > L` ، که نشان دهنده انقباض طول لوله در چارچوب متحرک است .
درک چنین واقعیتی بسیار دشوار و سخت است . اما لورنتس علت آن را تغییر در نیروی الکترومغناطیسی اتم ها در سرعت های بالا می داند.
اما متاسفانه تا کنون دانشمندان موفق نشده اند که انقباض لورنتس-جرالد را در حد آزمایش عملی کند .
یک از نتایج نسبیت خاص ، که با سینماتیک در تضاد است جمع سرعت هاست که در خور مسائل ریاضیست .
E=MC^2
یکی از معادلات زیبا و پراهمیتی که انیشتین آن را در مقاله ی علمی با استدلال زیبا و دور از هرگونه پیچیدگی های ریاضی استنتاج کرد ، معادله هم ارزی جرم-انرژی است . وی در مقاله ی خود می نویسد :" اگر جسمی انرژی E را بصورت تابش از دست بدهد ، جرمش به اندازه ی E/C^2 ، کم می شود ".
اگر جسمی ، مقداری از جرم خود را از دست بدهد ، انرژی به اندازه ی E که معادل E=MC^2 ، می باشذ به صورت تابشی آزاد می کند و M مقدار جرم از دست رفته است .
در واکنش های هسته ای ، مشاهده شده است که در طی شکافت هسته ، مقداری از جرم هسته کاهش و به انرژی تابشی تبدیل می شود . البته عکس این معادله نیز صادق است ، یعنی می توان با فراهم آوردن مقدار انرژی به اندازه کافی ، جسمی پر جرم را به وجود آورد .
یکی از نتایج مهم هم ارزی جرم-انرژی ، تغییر جرم جسم در سرعت های نزدیک به سرعت نور است .
جرم جسم متحرک با سرعت نزدیک به سرعت نور ، نسبت به همان جسم ولی در حال سکون ، بیشتر است .
امروزه در آزمایشگاه ها ، با دادن انرژی به الکترون ها ، توانسته اند سرعت آن ها را نزدیک به سرعت نور ، برسانند .
در این آزمایش ها مشاهده شده که جرم الکترون ها مطابق با فرمول نسبیت ، افزایش پیدا کرده است . و همچنین با استفاده از ساعت های اتمی (سزیم ) ،کندی گذر زمان در چارچوب متحرک نسبت به چارچوب ساکن را مشاهده کرده اند .
انیشتین در سال 1919 ، با ترمیم و تعمیم نسبیت خود , نسبیت عام را مطرح کرد . نسبیت عام برخلاف نسبیت خاص ، در برگیرنده معادلات و پیچیدگی های ریاضی بود .
یکی از پیش بینی های این نظریه آن بود که ساعت ها در میدان گرانشی بسیار قوی ، کندتر کار می کنند و همچنین نور در میدان گرانشی بسیا قوی ، در مسیر مستقیم خود منحرف می شوند . این نظریه توانست به بسیاری از معما های کیهان شناسی در مورد سیاهچاله ها ، عمر کرات وسیارات ، انرژی ستاره ها وکهکشان ها ، چگالی جهان و ... پاسخ دهد .
بخش چهارم – بحرانهای علم تاریخ علم ریاضی
- بحران اول
پیشرفت بزرگی در سال 1821 رخ داد و آن زمانی بود که ریاضی دان فرانسوی آگوست کوشی(1857-1789) به طور موفقیت آمیزی پیشنهاد دلامبر را عملی کرده و یک تئوری قابل قبول برای حدود ابداع کرد و سپس مفاهیم مهمی چون پیوستگی،مشتق پذیری و انتگرال معین را با استفاده از مفهوم حد تعریف کرد.
مفهوم حد یقیناً یکی از ضروری ترین مفاهیم برای گسترش آنالیز است.زیرا همگرایی و واگرایی سریها نیز به این مفهوم وابسته است.کار منطقی کوشی،دیگر ریاضی دانان را تهییج کرد تا به او بپیوندند و آنالیز را از شهودگرایی سطحی و فرمول گرایی نجات دهند.
ریاضی دان آلمانی،کارل وایراشتراس (1897-1815)در سال 1847 تابع ای را معرفی کرد که در تمام نقاط پیوسته بود و در تمام نقاط فاقد مشتق بود به عبارت دیگر منحنی ای که در هیچ یک از نقاط خود دارای مماسی نیست.تابع وایراشتراس یک مثال جدی علیه به کارگیری شهود هندسی در مطالعات آنالیز به شمار می رفت.
تئوری حد،که بر آن ایده های پیوستگی و مشتق پذیری استوار بود.قبلاً بر شهود ساده هندسی مفهوم اعداد حقیقی ساخته شده بود.کم کم نمایان شد که نظریه حد،پیوستگی و مشتق پذیری بر ویژگی های اساسی تری از سیستم اعداد حقیقی بستگی داند که قبل از این تصور نمی رفت.از جمله ی این بستگی ها تابعی است که توسط ریمان ارائه شد،تابعی که برای همه مقادیر گنگ متغییر پیوسته و برای همه مقادیر گویای متغییر ناپیوسته است.
مثالهای فوق نیاز به بازنگری ساختار دستگاه اعداد حقیقی را طلب می کرد.بنابراین وایراشتراس برنامه ای تهیه دید که در آن نخست خود سیستم اعداد حقیقی می بایست سامان می یافت،سپس مفاهیم بنیادی آنالیز از این سیستم بدست می آمد.این برنامه مهم به حسابی کردن آنالیز مشهور است.این کار بسی مشکل می نمود لیکن سرانجام توسط وایراشتراس وشاگردانش انجام شد.به طوری که امروز می توان ادعا کرد که آنالیز کلاسیک به گونه ای مستحکم بر سیستم اعداد حقیقی به عنوان یک مبانی استوار شده است.
روش اصل موضوعی:
هر تئوری علمی مجموعه ای است از گزاره هایی که راست شمرده می شوند و مبین خواصی از اشیاء موضوع بحث آن تئوری یا نسبتهایی بین آنها می باشد.مثلاً در هندسه،نقاط و خطوط و زوایا از جمله اشیاء مورد بحث هستند و گزارهِ:هر نقطه از عمود منصف یک قطعه خط مستقیم از طرفین آن به یک فاصله است،از گزاره های راست هندسی می باشد.
در یک تئوری ریاضی گزاره های راست تئوری(قضایا)نظم و ترتیب خاصی دارند،و آن ناشی از این است که بعضی از آنها نتیجه ی منطقی بعضی دیگر است و به عبارت دیگر ،بعضی از آنها از بعضی دیگر لازم می آید.البته در هر مورد،چنین ادعایی را باید با آوردن دلیل ثابت کرد.
در تاسیس یک تئوری ریاضی طبعاً دو سوال به ذهن شخص خطور می کند:
یکی اینکه،از اشیاء مورد بحث،کدامیک را تعریف کنیم و دیگر آنکه از گزاره ها،کدام را ثابت نمائیم.جوابی که دربادی امر به نظر می رسد این است که هر چه از آن سخن می گوئیم تعریف کنیم و هر چه را بدان حکم می کنیم،ثابت کنیم.
البته کمال مطلوب همین است،امّا با اندک تاملی آشکار می شودکه این کمال مطلوب غیر ممکن است.مثلاً در هندسه،در تعریف نقطه ناچار باید به عبارت دیگری توسل جست،و در تعریف هر یک از عبارات به عبارت دیگر.این رشته تعریفات یا تا بی نهایت ائامه می یابد(تسلسل)یا در مرحله ای به عبارتی که تعریف آن مورد نظر بود باز می گردد (دور)،و در هر دو حالت،عبارت مذکور بدون تعریف می ماند.
در اثبات گزاره های نیز حال بر همین منوال است.در اثبات یک گزاره باید به گزاره های دیگر استناد کرد، و در اثبات هریک از این گزاره ها باید به گزاره های دیگر توسل جُست و این امر منجر به دور یا تسلسل می گردد و در هر حالت گزاره مورد نظر بدون دلیل می ماند.
بنا بر آنچه گذشت،تعریف همه عبارات یک تئوری ریاضی و نیز اثبات همه گزاره های آن غیر ممکن است.پس در ساختن یک تئوری،ناچار باید بعضی از عبارات آن را بدون تعریف،موضوع بحث قرار داد و بعضی از گزاره های آن را بدون دلیل،به عنوان گزاره های راست تئوری قبول کرد.عبارات مذکور را حدود اولیه یا حدود تعریف نشده و گزاره های مذکور را اصول موضوعه آن تئوری می نامند.
پس از انتخاب حدود اولیه یک تئوری،هیچ عبارت دیگر در آن تئوری قابل بحث نخواهد بود مگر اینکه به وسیله ی حدود اولیه یا عباراتی که قبلاً به وسیله ی حدود اولیه تعریف شده اند،تعریف شود.عباراتی را که بدین گونه تعریف می شوند،حدود ثانویه یا تعریف شده تئوری می نامند.همچنین پس از انتخاب اصول موضوعه یک تئوری،گزاره ای از تئوری فقط و فقط وقتی به عنوان یک گزاره راست پذیرفته می شود که به دلیلی از اصول موضوعه تئوری استنتاج شود.در این صورت،آن گزاره را یک قضیه آن تئوری می نامند.
جالب است بدانیم نخستین مبحثی از ریاضیات که به روش اصل موضوعی تاسیس شده است هندسه مقدماتی است،و این کار بیش از دوهزار سال قبل به وسیله اقلیدس،دانشمند بزرگ یونانی حوزه علمی اسکندریه، صورت گرفت.کتاب اصول هندسه وی از این جهت بین آثار علمی ای که تا اواخر قرن 19 میلادی بوجود آمده است منحصر به فرد است.
- بحران دوم علم ریاضی
دومین بحران در مبانی ریاضیات با کشف حساب دیفرانسیل و انتگرال توسط نیوتن(Newton)و لایب نیتز(Leibnitz) در اواخر قرن هفدهم پدید آمد.
علی رغم استفاده از توان و کاربردپذیری این وسیله جدید پیروان این دو دانشمند نتوانستند استحکام و درستی اصولی را که این تئوری بر آنها استوار بود بررسی کنند و لذا به جای آنکه اصول گواه بر درستی نتایج باشد.با استفاده از نتایج درستی اصول تحقیق می گردید.(در واقع اصول مدونی به نام اصول موضوع در کار نبود زیرا که آنالیز قرن هفدهم بر خلاف هندسه به روش اصل موضوعی بنا نشده بود.)
با گذشت زمان،تناقضات و پارادوکسهایی بروز کرد و بحرانهای جدی در مبانی ریاضیات پدید آمد.برای بیشتر روشن شدن مطلب بعضی از این پارادوکسها را مرور
می کنیم.
1- نیوتن در کتاب خود تحت عنوان انحنای منحنی ها،مشتقX۳را چنین تعیین
می کند:
در هر زمانی که X به X+ΔX رشد می کند،توان X۳ برابر ³(X+ΔX) می شود، یا
3X² ΔX+3X(ΔX)²+(ΔX)³+X۳ و رشد،یا نموها به ترتیب برابرند با ΔX و 3X²ΔX+3X(ΔX)²+(ΔX)³. نسبت آنها به رشد متغییر برابر است با 1 و 3X² +3XΔX+(ΔX)² اکنون فرض کنیم رشد(متغییر)صفر شود و لذا نسبت رشدهای اخیر برابر 1 و3X² می گردد،از این رو نسبت تغییرX۳ به X برابر3X² خواهد بود.
در قسمتی از این استدلال فرض می شود که ΔX مقداری غیر صفر است،در حالیکه در بخش دیگر برابر صفر انگاشته می شود.
اولین نقد این مطلب از آن بیشاب برکلی(Bishop Berkely) می باشد.پاسخهایی به برکلی داده شده ولی بدون بحث منطقی درباره ی حدود،این پاسخها قانع کننده نبود.در واقع همه شرحهای اولیه فرآیند حساب دیفرانسیل و انتگرال مبهم و آمیخته با مشکلات بوده و درک آن آسان نیست.بعضی از این شرحها بر استدلالهای نامعقول و اسرارآمیز استوار است،همانند این بیان یوهان برنولی که گفته است:
« هر کمیتی که به اندازه ی کمیت بینهایت کوچکی کاهش یا افزایش یابد،نه کاهش می یابد و نه افزایش می یابد.»
وقتی که نظریه یک عمل ریاضی به گونه ای ضعیف تفهیم گردد،همواره این خطر وجود دارد که این عمل به گونه ای کورکورانه و شاید غیرمنطقی اعمال گردد.مجری چنین عملی که از محدودیتهای ممکن این عمل آگاه نیست،عمل را احتمالاً در مواردی به کار خواهد گرفت که لزوماً قابل اعمال نخواهد بود.
2- ریاضی دانهای قرن نوزدهم که تحت تاثیر کاربردپذیری فوق العاده قدرتمند این موضوع قرار داشتند تا بواسطه ی خلاء ناشی از درک حقیقی مبانی این علم تکنیکهای آن را به طور کورکورانه ای در هر وضعیت به کار می گرفتند.از جمله کارهای ریاضی دان بزرگ سوئیسی لئونارد اویلر(1707-1783) مثال مهمی از فرمول گرایی قرن هجدهم در آنالیز می باشد.وی منحصراً توسط کار با فرمولها،فرمول خارق العاده را کشف کرد که وقتی X=Π قرار دهیم، رابطه حاصل می شود که رابطه ای میان مهمترین چهار عدد ریاضی است.نام اویلر تقریباً با هر شاخه از ریاضیات قرین بوده و جالب است که یادآور شویم که حتی در سالهای پایان عمر که مبتلا به کوری چشم گردید،به مطالعه ادامه داد.معهذا فرمول گرایی اویلر وی را به اشتباه کاریهایی رهنمون می کرد.
برای مثال،هرگاه قضیه ی دو جمله ای را برای ۱-(1-2) اعمال کنیم بدست
می آوریم.
-1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … نتیجه ای که باعث حیرت اویلر نگردید!
همچنین با جمع دو سری
X + X² + X³ + … = X/(1-X) ، 1 + 1/X + 1/X² + … = X/(X-1)
اویلر رابطه … + 1/X² + 1/X + 1 + X + X² + … = 0را بدست آورد.
ریاضی دانان قرن های هفدهم و هجدهم اطلاع اندکی از سیرهای نامتناهی داشتند،لذا این حوزه از ریاضیات پارادوکسهای بسیاری را بوجود آورد.برای مثال اگر سری S = 1-1+1-1+1-1+ … را در نظر بگیریم و جملات این سری را به طریقی گروه بندی کنیم،بدست می آوریم:
S = (1-1)+ (1-1)+ (1-1)+ … = 0+0+0+ … = 0
در حالی که هرگاه جملات را به طریق دیگر دسته بندی کنیم،داریم:
S = 1-(1-1)-(1-1)- … = 1-0-0-0- … = 1
لایب نیتز چنین استدلال می کرد که چون حاصل جمع های صفر و یک به یک اندازه محتمل اند،حاصل جمع صحیح برابر مقدار میانگین 1/2 می باشد.همچنین مقدار 1/2 را به گونه فرمولی دیگری نیز بدست آورد.زیرا داریم:
S = 1-(1-1+1-1+1-1+ …) = 1-S
از این رو 2S = 1 و در نتیجه: S = 1/2
اولین پیشنهاد برای اصلاح واقعی وضع قانون نامتوافق مبانی آنالیز از طرف دلامبر (1717-1783) مطرح گردید.دلامبر بسیار به جا تشخیص داد که به تئوری حدود نیاز است(1734) لیکن توسعه صحیحی از این تئوری تا به سال 1821 میلادی مقدور نگشت
-بحران سوم:
سومین بحران در مبانی ریاضیات ناگهان در سال 1897 به وقوع پیوست گرچه بیش از یک قرن از آن تاریخ می گذرد،هنوز هم آنگونه که همه متخصصین را قانع کند حل و فصل نشده است.این بحران با کشف پارادوکسهایی در تئوری مجموعه های کانتور آغاز گردید.از آنجا که قسمت اعظم ای از ریاضیات با مفاهیم مجموعه ها عجین است.و از این حیث نظریه مجموعه ها به عنوان پایه ریاضیات تلقی می گردد.کشف این پارادوکسها طبعاً شک و نگرانی عمده ای در برقراری همه مبانی ریاضیات به همراه داشته است.
در سال 1897،ریاضیدان ایتالیایی به نام برالی-فورتی اولین پارادوکس تئوری مجموعه ها را منتشر کرد.این پارادوکس با عبارات و مفاهیم فنی عرضه شده که ارائه آن در این مختصر نمی گنجد.معهذا جوهره این پارادوکسها را می توان عرضه کرد از این قرار که پارادوکسی که در سال بعد توسط خود کانتور کشف شد بسیار شبیه پارادوکس برالی-فورتی است.ولیکن با توصیف غیر فنی ارائه شده است.
کانتور در تئوری مجموعه ها موفق شد ثابت کند که برای هر عدد اصلی،عدد اصلی و بزرگتر از آن وجود دارد.یعنی هیچ عدد اصلی که بزرگتر باشد وجود ندارد.(مفهوم عدد اصلی در قسمتهای آتی توضیح داده شده است.)
اکنون مجموعه ای را در نظر می گیریم که اعضای آن همه ی دیگر مجموعه های ممکن باشد.یقیناً هیچ مجموعه دیگری وجود ندارد که اعضای بیشتری از این مجموعه داشته باشد.لیکن اگر چنین است،چگونه است که عدد اصلی وجود خواهد داشت که از عدد اصلی این مجموعه بزرگتر می باشد؟
بنا بر توصیف فوق،وجود مجموعه ای به نام مجموعه مرجع M غیر ممکن است، از طرفی اگر از مجموعه M صرف نظر کنیم بسیاری از قوانین مجموعه ها همچون متمم (A (M-A=Â فاقد اعتبار خواهد بود که باعث از هم پاشیدگی نظریه مجموعه ها خواهد شد.
در حالیکه پارادوکسهای برالی و کانتور در رابطه با نتایج تئوری مجموعه ها هستند.برتراند راسل در سال 1902 پارادوکسی کشف کرد که به هیچ چیز جز مفهوم مجموعه بستگی ندارد.به عنوان مثال مجموعه همه ایده های مجرد خود یک ایده مجرد است.امّا مجموعه همه مردها خود یک مرد نیست و یا مجموعه همه مجموعه ها خود یک مجموعه است،امّا مجموعه همه ستاره ها خود یک ستاره نیست.
اکنون مجموعه همه مجموعه هایی را که عضو خودشان هستند با M و مجموعه همه مجموعه هایی را که عضو خودشان نیستند با N نشان می دهیم.حال می پرسیم که آیا N عضو خودش است؟
اگر N عضو خودش باشد،آنگاه N به M تعلق دارد و لذا به N تعلق نداشته،یعنی عضو خودش نیست.از طرف دیگر اگر N عضو خودش نباشد،آنگاه N عضوی از N بوده و به M تعلق ندارد و لذا N عضو خودش است.
پارادوکس بر این واقعیت استوار است که در هر حالت ما به تناقض رهنمون
می شویم.
پارادوکس فوق توسط راسل به فرگه(Frege) ارسال گردید.درست وقتی که فرگه جلد دوم کتاب بزرگ دو جلدی خود را در باب مبانی حساب تمام کرده بود.فرگه دریافت نامه راسل را در پایان کتابش با این مضمون اعلام کرد که:
«یک دانشمند به ندرت منتظر چیزی ناخواسته تر از این است که وقتی کار (تالیف مبانی) تمام شده باشد باز باید منتظر بماند.»
-بحران چهارم
در زیر به بیان 3 مثال جالب که ناشی از پارادوکسهای نظریه مجموعه ها می باشند می پردازیم:
مثال 1)یک سلمانی در یک دهکده اعلام می دارد که فقط و فقط صورت کسانی را اصلاح می کند که خودشان صورت خود را اصلاح نمی کنند.
پارادوکس از اینجا ناشی می شود که بخواهیم به این سوال پاسخ دهیم که «آیا این سلمانی صورت خود را اصلاح می کند؟» اگر صورت خود را اصلاح کند.نباید مطابق اصل اعلام شده خود چنین کند.اگر صورت خود را اصلاح نکند.آنگاه بر طبق اصل اعلام شده باید صورت خود را اصلاح کند.
مثال 2) یکی از اهالی کِرت می گوید تمام کرتیان دروغ گو هستند.حال به نظر شما آیا من راستگویم یا دروغگو؟
اگر پاسخ دهیم که راستگوست، پس بنا به ادعای شخص او راست می گوید که دروغگوست.لذا دروغگوست و اگر پاسخ دهیم که دروغگوست،بنا به ادعای شخص،او دروغ می گوید که دروغگوست.لذا راستگو است.
مثال 3) در یک شهر فردی نزد قاضی می رود و از او می خواهد که به وی علم حقوق یاد دهد.قاضی نیز در ازای دریافت شهریه ای این کار را قبول می کند.قراردادی بین قاضی و شاگرد بدین مضمون تنظیم می شود که شاگرد می بایست نیمی از شهریه را در ابتدای تحصیل پرداخت کند و نیم دیگر را زمانی پرداخت کند که در اولین دادگاهی که شاگرد به هر دلیل حاضر می شود پیروز شود.که این کار به منزله ی قبولی شاگرد در درس می باشد.امّا پس از گذشت مدتها،قاضی احساس می کند که شاگرد به حد نصاب لازم رسیده است.لذا نیمه ی دوم شهریه را از شاگرد مطالبه می کند.شاگرد از پرداخت باقیمانده شهریه طفره می رود تا اینکه کار به دادگاه نزد حاکم کشیده می شود.
سوالی که مطرح می شود این است که به نظر شما چه کسی در دادگاه پیروز می شود؟
قاضی در نزد خود چنین استدلال می کند که اگر موفق شوم که نیمه ی باقیمانده شهریه را دریافت کنم که پیروز شده ام و چنانچه در دادگاه شکست بخورم به معنی آن خواه
تحقیق درمورد انیشتین و ریاضی
